ગણિતવિહાર (ભાગ-2) – બંસીધર શુક્લ

[ ગણિત એ માત્ર અભ્યાસક્રમનો એક વિષય નથી. એને સાહિત્ય, રમૂજ તેમજ અન્ય તમામ કલાઓ સાથે જોડી શકાય છે. ‘ગણિતવિહાર’ નામનું આ પુસ્તક એ બાબતને વધારે સ્પષ્ટ કરે છે. આ પુસ્તકમાં પ્રમેય, ભૂમિતિ, બીજગણિત, સંખ્યાપદ્ધતિઓ, ત્રિકોણમિતિ જેવી ગણિતની પાયાની બાબતો તો સરળ રીતે સમજાવી જ છે પરંતુ એ સાથે ગણિતનો શબ્દકોશ, છેતરપિંડીનું ગણિત, ખગોળ ગણિત જેવા અવનવા વિષયોનો સમાવેશ પણ કર્યો છે. અગાઉ આપણે તેમાંથી એક લેખ (ભાગ-1) માણ્યો હતો. આજે થોડા વધુ પ્રકરણો જોઈએ. રીડગુજરાતીને આ પુસ્તક ભેટ મોકલવા માટે ‘ગૂર્જર પ્રકાશન’નો ખૂબ ખૂબ આભાર. પુસ્તક પ્રાપ્તિની વિગત લેખના અંતે આપવામાં આવી છે.]

[1] અશક્ય કોયડો

ગણિતના આ કોયડામાં સસલા અને કાચબાની પરંપરાગત દોડમાં સિદ્ધાંત પ્રમાણે સસલું કદી કાચબાને આંબી શકે નહિ.

કોયડો : સસલાનો વેગ કાચબા કરતાં 10 ગણો છે. એટલે ન્યાય ખાતર દોડમાં કાચબાને એક કિલોમીટર આગળ રાખીને બંનેને એક સાથે દોડ ચાલુ કરવાનું કહેવામાં આવે છે. હવે કહો, સસલું કેટલા અંતરે કાચબાને વટાવી જશે ? સસલું કદી કાચબાને આંબી શકશે નહિ. તે દસગણું વેગીલું હોવા છતાં એક કિમી પાછળથી આરંભ કરે છે. હવે, ગમે તે ક્ષણે બેની સ્થિતિ જુઓ તો કાચબો સદા આગળ રહે છે :

સસલું 0 મીટરે…… કાચબો 1000 મીટર પર
સસલું 1000 મીટરે….. કાચબો 1100 મીટર પર
સસલું 1100 મીટરે…….. કાચબો 1110 મીટર પર
સસલું 1110 મીટરે…….. કાચબો 1111 મીટર પર
સસલું 1111 મીટરે……….. કાચબો 1111.1 મીટર પર

આમ, ગમે તે ક્ષણે કાચબો સસલા કરતાં આગળ રહે છે. વ્યવહારમાં આપણો અનુભવ ઊલટો છે. સાચી વાત શોધી શકશો ?
.

[2] પ્રકૃતિમાં ગણિત

પ્રકૃતિમાં ઘણે સ્થળે ગણિતના નિયમો લાગુ પડતા જોવા મળે છે. કેટલેક સ્થળે તો એટલી સૂક્ષ્મતાથી પ્રવર્તતા દેખાય છે કે આપણે ચકિત થઈ જઈએ. 13મી સદીમાં ઈટાલીના લિયોનાર્ડો ફિબોનાચીએ આવું ઉદાહરણ નોંધ્યું. તે ઢળતા ભવનવાળા પિસાનો વાસી હતો. અરબ ગણિતશાસ્ત્રી પાસે હિંદુ ગણિત ભણ્યો હતો. હિંદુ અંકોના પ્રચાર માટે તેણે ઝુંબેશ ચલાવેલી. ફિબોનચીએ એક સમસ્યા નોંધી : એક માણસે એક બંધ વાડામાં સસલાની જોડ મૂકી. આવી જોડ બીજા મહિનાથી આરંભ કરીને દરેક મહિને એક નવી જોડ ઉત્પન્ન કરે છે, તો વર્ષને અંતે વાડામાં કેટલી જોડ થશે ?

ઉત્તર : બીજા મહિને એક જોડ, ત્રીજા મહિને એક જોડ, ચોથા મહિને બે જોડ, પાંચમે ત્રણ જોડ, છઠ્ઠે પાંચ… આ રીતે જે શ્રેણી રચાઈ તે ફિબોનાચીના નામે જાણીતી બની. તેને અંકોમાં લખતાં : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34….. એ પછીનો દરેક આંક તેની પહેલાંના બે આંકોનો સરવાળો છે, તે જુઓ. એક મહિનામાં જન્મતી જોડની સંખ્યા તેના આગલા બે મહિનાની જોડોના સરવાળા બરાબર થાય છે. વર્ષમાં તે 233 થાય છે. આ શ્રેણી પ્રકૃતિમાં અન્યત્ર પણ જોવા મળે છે. સૂર્યમુખી ફૂલના વચ્ચેના ‘સૂર્ય’નાં ઉપપુષ્પો તેનું ઉદાહરણ છે. આ ઉપપુષ્પો પરસ્પરવ્યાપ્ત બે સર્પિલોની આકૃતિ રચે છે. એક ઘંટીના કે ઘડિયાળના આંકડાના ક્રમે અને બીજા અવળા ક્રમે હોય છે. સવળામાં 21 અને અવળામાં 34 ઉપપુષ્પો હોય છે. આ બે અંકો ફિબોનાચી શ્રેણીના છે. દેવદાર જેવાં શંકુદ્રુમના શંકુમાં સર્પિલ જોવા મળે છે. તેમાં મોટે ભાગે આઠ સવળી અને પાંચ અવળી સર્પિલ રચનાઓ હોય છે. અહીં 5 અને 8 ફિબોનાચી અંકો છે. અનનાસ ફળમાં આ રચના બહારના ભાગે હોય છે. આઠ સર્પિલ એક દિશામાં, 13 અવળી દિશામાં.

વૃક્ષનાં પ્રકાંડ પર પાંદડાં કે ડાળીની ફૂટ પણ આ શ્રેણીને અનુસરતી જોવા મળે છે. દરેક ઉપરની નવી ફૂટ એવી રીતે ઊગે છે, જેથી તેની છાયા નીચેની ફૂટને મળતો તડકો અવરોધે નહીં. આ ફૂટો વચ્ચેના ખૂણા વર્તુળના અંશ રૂપે જોઈએ તો તે ફિબોનાચી શ્રેણીના અંકોના ક્રમે હોય છે. ઘાસ માટે 1/2 , ચિરાવેલ માટે 1/2, બીચ અને પહાડી બદામ માટે 1/3, ઓક અને ફળવૃક્ષો માટે 2/5, ગુલાબ માટે 3/8, વિલો (ભીંસા), બદામ માટે 5/13 આદિ. ફિબોનાચી શ્રેણી અંતતઃ બે નિકટના અંકો વચ્ચે 1 અને 1.62 જેવા ગુણોત્તરે પહોંચે છે. આ અંક પણ પ્રકૃતિને પ્રિય છે. પ્રાચીનકાળથી તે સુવર્ણમાન કે સુવર્ણ ખંડના નામે પરિચિત છે. કલાકારોમાં તે પ્રિય છે. તે દશ્યની યોજનામાં વિશિષ્ટ સંતુલન દ્વારા ચિત્રને મનોહર બનાવે છે. તે વાસ્તુશાસ્ત્રમાં પણ વ્યવહાર્ય છે. લૈ કાર્બુઝ્યે જેવા સ્થપતિ તેમનાં ભવનો માટે એ માપ પસંદ કરે છે. અલબત્ત, ચિત્રકારો આ સુવર્ણખંડ પાછળ પ્રકૃતિનું અદ્દભુત ગણિત કામ કરી રહ્યું છે, એ વિશે ભાગ્યે જ કશું જાણતાં કે વિચારતાં હશે.
.

[3] શૂન્યનો ભેદ

શૂન્ય આંકડો છે ? જો એ આંકડો હોય, તો ભારે વિચિત્ર આંકડો છે. તેનું વર્તન બીજા અંકો કરતાં સાવ ભિન્ન છે. ગણતરીમાં તેનું કંઈ મૂલ્ય નથી. કોઈ પણ સંખ્યામાં 0 ઉમેરવાથી અથવા બાદ કરવાથી તે સંખ્યામાં કશો ફરક પડતો નથી. શૂન્ય જેવું કંઈ ‘છે’ કહેવું વિચિત્ર લાગે છે.

પણ, જો તેને કોઈ અંકના જમણા પડખે મૂકો તો ? તો તે અંકનું મૂલ્ય 10 ગણું થઈ જાય છે. શૂન્યને ભારે સંખ્યા વડે ગુણો. પરિણામ સદા 0 આવે છે. કેલ્ક્યુલેટરમાં 0 ને અથવા શૂન્ય વડે ભાગવાનો પ્રયત્ન કરતાં વિચિત્ર અનુભવ થાય છે. કેલ્ક્યુલેટર આવો ભાગાકાર કરવાની ના પાડે છે. તે ભૂલ દર્શાવે છે. મીંડું અથવા વર્તુળ સુપરિચિત આકૃતિ હોવાથી પ્રાચીન ઈજિપ્ત, ગ્રીસ, બબુલ, મય આદિ સંસ્કૃતિઓમાં તે જોવા તો મળે છે. પણ, તેનો 1 થી 9 અંકો સાથે વિશેષ અર્થમાં ઉપયોગ થઈ શકે છે, એ વાત કેવળ પ્રાચીન હિંદુ ગણિતશાસ્ત્રીઓના ધ્યાનમાં જ આવી. વિશ્વની છએક મહાન શોધોમાંની આ શોધ બ્રહ્મગુપ્તને ફાળે જાય છે. ભારતનું આ જ્ઞાન પ્રારંભિક સદીઓમાં હિંદુ વેપારીઓ દ્વારા પૂર્વ અને પશ્ચિમના દેશોમાં પહોંચ્યું. અરબોએ હિંદુ પદ્ધતિ અપનાવી લીધી. તેમણે યુરોપના ખૂણાઓ જીતી લઈ તે માર્ગે યુરોપમાં હિંદુ અંકો તથા શૂન્યનો પ્રચાર કર્યો. નવમી સદી પછી પ્રક્રિયામાં વેગ આવ્યો. ઘણા લોકો તેને ચમત્કારી અંક માની પૂજવા લાગ્યા. ગુપ્ત મંડળો સ્થપાયાં. શૂન્યના લૅટિન અને અરબ નામ સિફ્રાનો સંકેત રૂપે ઉપયોગ થવા લાગ્યો. આજે પણ ગણિતશાસ્ત્રીઓ શૂન્યનો પૂર્ણભેદ પામી શક્યા નથી. ઘણી વાર તે 1 થી 9ની જેમ જ સ્વાભાવિક અંક રૂપે વપરાય છે. છતાં, ઉદાહરણ : આ શ્રેણી…. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…. શૂન્યને મૂલ્ય નથી….. છતાં છે !
.

[4] વિરાટ સંખ્યા

ચોરવાડના સાગરકાંઠાની રેતીમાં રહેલા કણની સંખ્યા શી છે ? અમદાવાદ નગર ઉપર વર્ષભરમાં વરસાદનાં કેટલાં ટીપાં વરસે છે ? ભાષાની ઉત્પત્તિ થઈ ત્યારથી આજ સુધીમાં સઘળા માણસો મળીને કેટલા શબ્દો બોલ્યા હશે ? ચપટીભર વાયુમાં રહેલા વીજાણુઓની સંખ્યા કેટલી થાય ?

આના ઉત્તરો ઘણી મોટી સંખ્યામાં આવે છે. ગણિતશાસ્ત્રીઓએ તે માટે વિરાટ સંખ્યાઓ સાથે કામ પાડવું પડે છે. ગણિતનું મૂળ પ્રાચીન ભારતમાં હોવાથી ઋષિઓએ વિરાટ સંખ્યાઓ રચી અને તેમનાં નામ પણ પાડ્યાં. યુરોપ અને અમેરિકામાં ગ્રીસ જ બધાં શાસ્ત્રોના પિતાઓનું ધામ હોવાથી તેમને મુશ્કેલી નડી. તેમની અંકપદ્ધતિ જ એવી હતી કે તે અંકો વડે લાંબી સંખ્યા લખતાં હાંફી જવાય. આ કષ્ટના નિવારણ અર્થે પશ્ચિમે હિંદુ દશાંક પદ્ધતિ અપનાવી. આ પદ્ધતિમાં પહેલી વાર એ લોકોને લાંબી મોટી સંખ્યાના અસ્તિત્વ વિશે જ્ઞાન થયું. 1955માં અવસાન પામેલા અમેરિકી સંખ્યાશાસ્ત્રીએ ગુગોલ નામે ત્યારની સૌથી મોટી ગણાતી સંખ્યા પ્રયોજી. ગુગોલ એટલે એકસો અબજ અથવા એકડા ઉપર 100 મીંડા જેટલી સંખ્યા.

આ સંખ્યાની વિરાટતા શી રીતે સમજાય ? ચોરવાડના સાગરકાંઠાના રેતીના કણોની સંખ્યા અનુમાને ગણતરી કરતાં 1 ઉપર 20 મીંડાં જેટલી થાય છે. તે ગુગોલ કરતાં ક્યાંય નાની છે. અમદાવાદ મહાનગર પર પડતા વરસાદનાં ટીપાંની સંખ્યા પણ ગુગોલ આગળ નજીવી છે. માણસજાતે બોલેલા શબ્દોની સંખ્યાનું અનુમાન 1 ઉપર 16 મીંડાથી થોડું વધારે હશે. તે પણ ગુગોલ આગળ નગણ્ય છે. વીજાણુ અતિ સૂક્ષ્મ કણ છે. 40 વોટના દીવાના ગોળાના તારમાં એક મિનિટમાં વહેતા વીજાણુઓની સંખ્યા નાયગરા ધોધના પ્રવાહમાં આખા વર્ષમાં વહેતા પાણીનાં ટીપાંની સંખ્યા કરતાં વધી જાય છે. ચપટી વાયુમાં રહેલા વીજાણુઓની સંખ્યા ગુગોલ આંકમાં દર્શાવવાનું શક્ય નથી. આઈનસ્ટાઈનના સંશોધન પ્રમાણે સકળ બ્રહ્માંડમાં રહેલા વીજાણુઓ જ 1 ઉપર 79 મીંડાં ( કે 87 મીંડાં) બરાબર થાય છે. એટલે, ભૌતિક કે રાસાયણિક વિજ્ઞાનોમાં આવતી મોટામાં મોટી સંખ્યા કરતાં ગુગોલ વધારે છે. અને હવે જ્યારે મીંડાં જ મૂકવાનાં છે, તો તેમાં કૃપણતા શા માટે ? હજુ મોટી સંખ્યા કેમ ના બનાવવી ? ગુગોલ પછી વધારે લાંબી ગુગોલપ્લેક્સ નામની સંખ્યા આવી. એક ગુગોલપ્લેક્સ એટલે 1 ઉપર અબજ અબજ મીંડાં. આ સંખ્યા પૂરેપૂરી લખવા માટે કેટલો લાંબો કાગળ જોઈએ ? ધારો કે અહીં ઘર આંગણેથી લખવા માંડીએ : 1,00000000000……… આમ લખ્યે જઈએ તો છેલ્લું મીંડું લખવા માટે અંતરિક્ષમાં દેખાતા તારાઓમાંના દૂરમાં દૂરના તારા સુધી લખતાં જવું પડે. અને, તોય…. તોય….. સંખ્યાનો છેડો આવે નહીં.

જોકે આપણે આગળ જોયું તેમ સૌથી વિરાટ સંખ્યા અંતે તો ભારતે જ પ્રયોજવી પડી છે. તેનું નામ છે ‘અસંખ્યેય’. તેના નામમાં જ તેની વિરાટતાનો પડઘો સંભળાય છે.


Email This Article Email This Article · Print This Article Print This Article ·  Save article As PDF ·   Subscribe ReadGujarati

  « Previous નોખું-અનોખું – સંકલિત
ધનુમાસીએ મત આપ્યો – કલ્પના દેસાઈ Next »   

8 પ્રતિભાવો : ગણિતવિહાર (ભાગ-2) – બંસીધર શુક્લ

  1. bhumikaoza says:

    Knowledgeable Information.

    Thanks.

  2. Ashish Makwana says:

    Very much like it…it ecovers daily routine life Mathamatics..Excellent Bansindhar bhai & Mrugeshbhai.

  3. Piyush S Shah says:

    Looking forward to read entire book.. Seems it is very interesting book!

  4. Ketan Mehta says:

    Excellent. Liked your explaination for the series.

  5. Om says:

    very interesting …..

  6. vijay chauhan says:

    ળીણ્ડાન્દ્ક્ાડ્ળ્

  7. Ruchir Gupta says:

    માફ કરશો, આ મારી ભૂલ હોઈ શકે પરંતુ મારા મત મુજબ સૌથી પહેલાં જેનું વર્ણન કરેલું છે તે અશક્ય કોયડા માં — જયારે સસલું ૧૨૦૦ મીટરે પહોંચશે ત્યારે કાચબો ૧૧૨૦ મીટરે હશે. આમ, કાચબો તો સસલાથી ક્યારનો પાછળ રહી ગયો.

    ખુલાસો: સસલો કાચબા કરતાં દસ ગણો ઝડપી છે. તેથી સસલાને ૧૨૦૦ મીટર કાપતાં જેટલો સમય લાગે તેટલા સમયમાં કાચબો માત્ર ૧૨૦ મીટર જેટલું અંતર કાપી શકે. પણ કાચબો સસલાં કરતાં ૧૦૦૦ મીટર આગળ છે. તેથી સસલો જયારે ૧૨૦૦ મીટરે પહોંચશે ત્યારે કાચબો ૧૦૦૦+૧૨૦ = ૧૧૨૦ મીટરે હશે.

  8. bhavesh says:

    Ashakya koyda ma tame race na niyam no bhang karyo 6…race ma samay niyamit rite aagal vadhe.. have tame jya points ma calculation karo etle samay ni ek sima thi tame aagal vadhta nathi..
    Biju ke aa prakaare aniyamit calculation ne badle sidhi calculation karo to saslu 2000 miter par hoy tyare kachbo 1200 miter par hoy maate saslu finish line par vahelu pahoche

આપનો પ્રતિભાવ :

Name : (required)
Email : (required)
Website : (optional)
Comment :